L'alvéole
« Anima praeditas et geometriae suo modo capaces », Kepler
Les abeilles sont dotées d’une âme et de ce fait capables de faire de la géométrie.
L’alvéole des abeilles possède une forme géométrique complexe : il s’agit d’un prisme hexagonal terminé par 3 losanges (aussi appelés rhombes). Cette forme est étudiée par Kepler au XVIIe siècle.
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Côté historique :
Au début du XVIIIe siècle, le mathématicien Maraldi mesure précisément les angles des 3 losanges de raccordement. Il obtient 109°28’ et 70°32’.
L’observation d’une alvéole montre que la profondeur d’une cellule est environ trois fois le côté de l’hexagone régulier. Les mathématiciens travaillent donc sur une alvéole sur la base d’un prisme hexagonal de côté 1 et de hauteur 3. On peut aisément calculer la surface de ce prisme, équivalent environ à 20,598. Les mathématiciens se demandent alors s’il existe une structure de même aire d’entrée (c’est-à-dire un hexagone de côté 1) et de même volume totale mais dont l’aire des parois est plus petite encore. Et il se trouve alors que la forme observée par Maraldi (alvéole fermée par les 3 rhombes) possède une aire totale de 20,121, soit légèrement inférieure à celle d’une alvéole à fond plat.
Cependant, en 1964, le mathématicien hongrois Toth élabore une structure répondant aux mêmes contraintes mais plus économique : il démontre que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, à la place de trois rhombes, la quantité de cire serait, pour un même volume, inférieure de 0,35 % à ce qu’elle est avec les losanges. Il précise que cette étude admet des parois d’épaisseur nulle, et envisage que la forme adoptée par les abeilles peut être la plus optimale si l’épaisseur des parois est prise en compte.
En 1994, deux mathématiciens irlandais étudient des films de savon. Ils injectent une solution savonneuse entre deux lames de verre et obtiennent précisément le résultat de Toth. Toutefois, ils remarquent qu’en épaississant les parois des alvéoles, la structure du fond bascule brutalement sur celle adoptée par les abeilles !
Ainsi les abeilles utilisent bel et bien la forme optimale, l’épaisseur des parois n’étant pas négligeable. La remarque formulée par Toth (30 ans auparavant) suite à son résultat était donc infiniment visionnaire.
Etude :
Nous allons maintenant essayer de comparer la structure évoquée précédemment avec un prisme à base hexagonale (c’est-à-dire une alvéole à fond plat et une alvéole avec un fond en rhombes).
Soit un prisme droit à base hexagonale et une structure en rhombes. Nous savons que la structure en rhombes est formée à partir du prisme à base hexagonale. On définit les longueurs suivantes : le prisme a pour hauteur 3 et sa base a pour coté 1. On appelle la distance entre les points B’ et S.
Nous allons tout d’abord calculer le volume de chaque solide.
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A présent, nous vous proposons de visionner la vidéo ci-dessous, montrant l'impact de la variation de X sur la figure en 3D. L'aire totale de notre figure s'affiche également en fonction de X, sur le côté gauche.
Nous vous proposons maintenant de faire varier la distance E'I (soit X), afin de faire varier l'aire de l'alvéole. La fonction exprimant cette aire en fonction de X est représentée dans le fichier ci-dessous. Utilisez le curseur pour faire varier X.